Análisis Dimensional

Conclusión Téoria de Conjuntos

Conclusión de Teoría de Conjuntos:

La historia de conjuntos comienza en el momento en que el hombre sintió la necesidad de contar y agrupar elementos. 

Las operaciones de conjuntos cumplen una determinada serie de leyes que indican como se debe operar cada uno de ellos, los cuales ayudan a comprender, entender y encontrar una solución cuantitativa de un grupo de elementos en común.

Teoría Gráficos Estadísticos

Gráficos Estadísticos: 
Educativo, P. (2016). Gráficos estadísticos. Recuperado de http://www.portaleducativo.net 

Existe una gran cantidad de gráficos para la representación de datos estadísticos, entre los principales tenemos:

a) Gráfico de Barras El gráfico de barras, como su nombre lo indica, está constituido por barras rectangulares de igual ancho, conservando la misma distancia de separación entre sí. Se utiliza básicamente para mostrar y comparar frecuencias de variables cuantitativas o comportamientos  en el tiempo, cuando el número de ítems es reducido.

Para elaborarlo debemos:

- Utilizar un sistema de coordenadas rectangulares y se llevan al eje de las "x" los valores que toma la variable en estudio y en el eje de las "y" se colocan las frecuencias de cada barra.

- Luego se construyen los rectángulos, tomando como base al eje de las abscisas, cuya altura será igual a cada una de las diferentes frecuencias que presentan las variables en estudio.

- La magnitud con que viene expresada la variable se observa en la longitud de las barras (rectángulos). Es importante destacar que solamente la longitud de las barras y no su anchura es lo que denota la diferencia de magnitud entre los valores de la variable. 

Todas las barras tienen que tener una anchura igual, separadas entre sí, preferiblemente por una longitud igual a la mitad del ancho de estas o distancias iguales entre barras.

Las barras se pueden graficar tanto verticalmente como horizontalmente. Se pueden elaborar barras compuestas y barras agrupadas.

Este tipo de gráfico se clasifican por:

- Barras simples: Compara valores entre categorías de una variable

- Barras dobles: Compara valores entre categorías de dos variables

- Barras múltiples: Compara valores entre categorías de dos o más variables

- Barras verticales: Las categorías de la variable deben ubicarse en el eje x.

- Barras horizontales: Las categorías de la variable deben ubicarse en el eje y.

- Barras Aplicadas: Compara entre categorías el aporte de cada valor en el total.

b) Gráfico de sectores Circulares: Usualmente llamado gráfico de torta, debido a su forma característica de una circunferencia dividida en sectores, por medio de radios que dan la sensación de un pastel cortado en porciones.

Se usa para representar variables cualitativas en porcentajes o cifras absolutas cuando el número de ítems no es superior a 5 y se quiere resaltar uno de ellos. 

c) Gráfico de líneas o Tendencia: Usado básicamente para mostrar el comportamiento de una variable cuantitativa a través del tiempo. El gráfico de líneas consiste en segmentos rectilíneos unidos entre sí, los cuales resaltan las variaciones de la variable por unidad de tiempo.

Cuando se tienen varias variables a representar, con el fin de establecer comparaciones entre ellas (siempre que su unidad de medida sea la misma); se utiliza plasmarlos en un solo gráfico, el cual es el resultado de representar varias variables en un mismo plano. A este tipo de gráfico se le llama gráfico de líneas compuesto.

Criterios para elaborar un gráfico de líneas:

1- La utilización de la escala que se utilizará en el plano cartesiano puede variar tomando en cuenta el fenómeno que se va a graficar. No es necesario que las abscisas (ejes x) y las ordenadas (eje y) del plano cartesiano lleven la misma escala; sin embargo, cuando las magnitudes de las variables no se diferencian sustancialmente es recomendable utilizar escalas iguales para obtener un gráfico con mayor precisión.

2- Cuando una de las variables en estudio se inicia con valores muy altos es recomendable no comenzar el eje por el origen cartesiano sino por un valor próximo o por el mismo valor por donde comienza la variable.

3- Es costumbre representar en el eje de las x del plano cartesiano la variable independiente del estudio que se realiza y en el eje de las y la variable dependiente.

En aquellos casos que se dificulta distinguir el tipo de variable se recomienda colocar en la ordenada del plano cartesiano las frecuencias de las variables en estudio y sobre la abscisa la variable cronológica (años, semanas, días, horas, etc.)

d) Histograma de frecuencias: El histograma es un diagrama en forma de columna, muy parecido a los gráficos de barras. Se define como un conjunto de rectángulos paralelos, en el que la base representa la clase de la distribución y su altura la magnitud que alcanza la frecuencia de la clase correspondiente. Son barras rectangulares levantadas sobre el eje de las abscisas del plano cartesiano utilizando escalas adecuadas para los valores que asume la variable en la distribución de frecuencia.

El ancho de la base de los rectángulos es proporcional a cada clase de la distribución, de tal manera que, cuando la distribución tiene clases de igual tamaño, el tamaño de todos los rectángulos tendrá bases iguales. 

Los lados del rectángulo se levantan sobre los puntos del eje de las x que corresponden a los límites de cada clase y la longitud de los mismos será igual a la frecuencia que tenga esa clase, los lados por lo tanto corresponden a la frecuencia de cada clase de la distribución de frecuencia.

Cuando se elaboran gráficas estadísticas en el plano cartesiano es recomendable que en el eje de las ordenadas se representen las frecuencias y el  eje de abscisas las variables independientes.

e) Polígono de frecuencias: Se utiliza básicamente para mostrar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas. Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.

Pasos para elaborar un polígono de frecuencias:

1- Se dibuja un plano cartesiano.

2- Se traza sobre el eje de las abscisas, a distancias iguales, los puntos medios de las diferentes clases de la distribución de frecuencias.

3- Se levantan perpendiculares por cada una de las marcas de clase, con una longitud igual a la frecuencia de cada una de las clases que integran la distribución de frecuencia. Al final de cada perpendicular se marca un punto.

4- Los puntos resultantes se unen por medio de una línea recta obteniéndose una línea poligonal.

5- Con la finalidad de cerrar la línea poligonal se agrega una clase imaginaria con frecuencia cero a cada extremo de la distribución de frecuencia, por tal motivos ambos extremos del polígono se cortan con el eje de las abscisas.

También se puede elaborar un polígono de frecuencia después de haber graficado un histograma; si se determina el punto medio de cada rectángulo de un histograma y esos puntos medios se unen por medio de segmentos de recta dan como resultado el polígono de frecuencia.

f) Histograma de frecuencias acumuladas: Se utiliza básicamente para mostrar la distribución  de frecuencias acumulada de variables cuantitativas. Es una gráfica que se elabora con los valores de las frecuencias acumuladas (menor que y mayor que) y los límites de las clases de una distribución de frecuencia. El polígono de frecuencia acumulada se le conoce comúnmente como ojiva.

La ojiva es una representación gráfica que consiste en una línea, que puede ser ascendente o descendente y se utiliza para representar las distribuciones de frecuencias acumuladas menor que y mayor que, según los datos utilizados. En los estudios de análisis estadísticos la ojiva es de gran utilidad porque permite obtener con gran aproximación cierta información requerida, en un momento determinado.

ejemplos de analisis de gráficos

Lectura e Interpretación de Gráficas

Lectura e interpretación de gráficas

Al igual que muchos procesos matemáticos utilizados en la escuela, la graficación comprende la interpretación y la construcción. La interpretación se refiere a las habilidades de los estudiantes para leer una gráfica tanto local como globalmente, y darle sentido o significado (Leinhardt et al., 1990). En contraste, la construcción atañe al acto de generar algo nuevo, construyendo una gráfica o trazando puntos a partir de datos con una regla funcional o a partir de una tabla. Leindhart et al. plantean que la construcción de una gráfica es completamente diferente de la interpretación. Mientras que la interpretación ayuda y exige respuestas a partir de datos dados (por ejemplo, una gráfica, una ecuación, o un conjunto de datos), la construcción requiere generar partes nuevas que no están dadas.

La interpretación de gráficas precisa de procesos agudos de visualización, aunque Eysemberg & Dreyfus (1991) mostraron que muchos estudiantes poco utilizan el pensamiento visual. Prefieren el trabajo algorítmico al pensamiento visual, ya que éste requiere de procesos cognitivos superiores a los que demanda el pensamiento algorítmico.

Ahora bien, las interpretaciones de las gráficas pueden estudiarse desde diferentes puntos de vista. Hay quienes investigan las dificultades en la lectura de gráficas (Brassel & Rowe, 1993; Moschkovich et al., 1993; Yerushalmi & Shternberg, 2001); en el caso de Wainer (1992), identificó tres niveles de procesamiento de la información relacionados con la interpretación gráfica:

a. El nivel elemental: Implica la extracción de datos o la lectura de puntos aislados; por ejemplo, quién alcanzó la más alta calificación del grupo, quién alcanzó la calificación más baja, etc.

b. El nivel intermedio: Concierne a la detección de las tendencias observadas en intervalos determinados de las gráficas; por ejemplo, entre los años 1990 y 1993 qué compañía tuvo la razón más grande de crecimiento.

c. El nivel más alto: Es una comprensión profunda sobre la estructura de los datos y de su comportamiento; por ejemplo, las muchachas crecen más rápido que los muchachos.

En otras investigaciones sobre el pensamiento de los estudiantes de cálculo, cuando plantearon actividades de interpretación en torno a lo cambiante de la razón de cambio se percibió que esta habilidad es lenta de desarrollar; particularmente, se reportan problemas al interpretar la información gráfica de una función (Carlson et al., 2002). Muchas de estas dificultades están asociadas al escaso desarrollo de un razonamiento covariacional, que se define como aquel que involucra a las actividades cognitivas de coordinación de dos cantidades variables, atendiendo las formas en que cambian una en relación con la otra. Como puede notarse, este trabajo se orienta más hacia el estudio del pensamiento covariacional y tiene similitud con la visión matemática de la graficación.

Según Cantoral & Montiel (2001), hay dos formas clásicas de entender la enseñanza de la graficación: una asume que la graficación es una técnica o conjunto de técnicas que permiten bosquejar la gráfica de una función; otra, menos difundida, entiende la graficación como una forma de interpretar el sentido y significado de sus propiedades desde una perspectiva cognoscitiva. En tal enfoque se inserta nuestro trabajo.

Para explorar las interpretaciones que le dan sentido y significado a las gráficas, adoptamos las acciones sugeridas en el análisis de funciones planteadas en Dolores (1999), así como algunas desprendidas de Carlson et al. (2002). Dichas acciones son congruentes con las definiciones y objetivos de las gráficas de funciones que manejan los textos y programas de estudio de matemáticas y de estadística. Una gráfica cartesiana se define en los textos como una representación entre dos o tres variables, y se considera como herramienta visual útil porque posibilita la detección de tendencias, facilita las comparaciones y se constituye en un medio idóneo para analizar el comportamiento de fenómenos de variación. Las acciones sistemáticamente planteadas pueden resumirse en cinco: 1) ¿qué cambia?; 2) ¿cuánto cambia?; 3) ¿cómo cambia?; 4), ¿qué tan rápido cambia?; 5) ¿cómo se comporta globalmente la gráfica?

La primera acción concierne a identificar qué variables están representadas, ubicar puntos en el plano y determinar los intervalos de variación. Para poder determinar cuánto cambia eso que cambia hay que hacer comparaciones y operaciones de resta entre estados finales e iniciales, tanto para la variable dependiente como para la independiente, atendiendo a la correlación entre esos cambios. Para saber cómo cambian las variables representadas, es preciso determinar si la gráfica crece, decrece o se mantiene constante; en suma, la dirección del cambio. Para determinar la rapidez del cambio se requiere emplear la razón promedio de cambio, que involucra necesariamente cambios de la variable dependiente en relación con los de la variable independiente. El comportamiento global y preciso de la gráfica implica el uso de la razón de cambio instantánea (derivada) para precisar en qué intervalos crece o decrece, en qué puntos tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión. Resulta claro que esta última no es tema de tratamiento en primaria y secundaria, pues se reserva para el bachillerato y la universidad.

BIBLIOGRAFÍA

Cantoral, R. & Montiel, G. (2001). Funciones: visualización y pensamiento matemático. México: Prentice Hall.

Cantoral, R. & Farfán, R. M. (2003). Matemática educativa: una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 1(1), 27–40.

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS DE TEORÍA DE CONJUNTOS

Ejemplo 4
En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3. 
a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? 
b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

Ejemplo 3
En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio 
se pide: 
a) Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión. 
b) Cuantos habitantes leen periódicos solamente.

TEORÍA DE CONJUNTOS