TEORÍA BÁSICA DE
CONJUNTOS
Pinceladas históricas
En
el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de
las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero,
Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar
la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925)
intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen
der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las
matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a
Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado
que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos
0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los
números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una
nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos.
Su
obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde
entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados,
sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones
lógicas.
Según
la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de
determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados
los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva
teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar. En 1903 B. Russell
demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y
cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la
teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel
(1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la
teoría de conjuntos actual. Es indiscutible el hecho de que la teoría de
conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática
dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es también
indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la
lógica de predicados.
En
esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas,
la teoría de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de las
matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las
matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías
lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer
orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que
pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de
primer orden.
La
definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección
C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro
pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que
en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un
predicado (la colección de objetos que satisface el predicado).
Esta
idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes
contradicciones de inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. Para
poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que,
aparte de los símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los
símbolos de pertenencia ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje
formal).
Que
x es un elemento del conjunto C se expresa “x pertenece a C” o bien x ∈
C. Que x no es un elemento de C se expresa “x no pertenece a C” (x /∈
C). Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a
los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a
su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra
teoría no hay objetos que no sean conjuntos.
¿Cómo se determina una
colección?
Listar
los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda
definido si es posible describir completamente sus elementos.
El
procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos,
se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre
llaves los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A
= {a, b, c}. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos a, b y
c.
B
= {⊕, ª, ⊗,
®,
¯}.
Donde B es el conjunto formado exactamente por esos cinco círculos.
Entonces
es cierto que b ∈ A y que b /∈ B.
El
inconveniente para este método de listado o enumeración de los elementos del
conjunto es que éstos deben poseer un número finito de elementos y, en la
práctica, un número muy pequeño ¿Qué hacer cuando la colección es infinita, o
cuando es finita pero numerosa?
Describir
los objetos. Cuando el número de elementos del conjunto es infinito (como el de
los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabras que
pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por
intensión, que consiste en la descripción de un conjunto como la extensión de
un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado) que
caracterizan a los elementos de ese conjunto.
En
principio podría tomarse cualquier lengua natural para describir los objetos (español,
inglés, italiano, vasco, catalán, etc), sin embargo es preferible utilizar un
lenguaje formal que ofrezca rigor y precisión. Dicho lenguaje debe ser
suficientemente rico; esto es, lo suficientemente expresivo como para poder describir
todas las colecciones matemáticas. Pero también lo suficientemente restrictivo como
para limitarse a sólo las colecciones de objetos matemáticos. Para expresar
predicados utilizaremos el lenguaje formal de la lógica de predicados de primer
orden (el lenguaje de la lógica de proposiciones con los símbolos lógicos de
las conectivas ¬,∨,∧,→,↔ más
los cuantificadores universal ∀ y existencial ∃)
al que se añade variables, igualdad y el relator binario de pertenencia.
Este
lenguaje puede ser ampliado con los símbolos propios de las operaciones, relaciones
o funciones del lenguaje específico de teoría de conjuntos.
En
la primera parte, al presentar la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con
frecuencia el lenguaje natural para describir propiedades. Estas propiedades pueden
ser aritméticas (<, ≤, /, etc.) o matemáticas en general, pero también pueden
ser propiedades expresadas en lenguaje natural (nombres, verbos,...) que describan
colecciones no estrictamente matemáticas.
Ejemplo:
C
= {x ∈ ω/ 0 <x< 230000 ∧
2/x}, donde ω es el conjunto de los números naturales con la
ordenación habitual, < significa “menor que” y 2/x significa que “2 divide a
x”.
D
= {x/ x es una palabra de 2 letras del alfabeto griego (pueden estar
repetidas)}
E
= {x/ P2(x) ∨ P3(x) ∨ ···
∨ P10(x)} . Donde Pi(x) significa “x es una
palabra de i letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas).
La
teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades
y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas
como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son
una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
La
teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto
de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras
geométricas,...; y, junto con la lógica, permite estudiar los fundamentos de
aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de
Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además,
la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como
herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los
conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de
propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o
la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y
técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
La
teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del
lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como
números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de
estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto,
y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica.
Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros
conjuntos. La pertenencia de un elemento a un conjunto A se indica como a ∈
A.
Una
relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación
de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un
subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
Los
conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números
naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de
los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto
del siguiente:
El
espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados
puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos
a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆
E3 y α ⊆ E3.
Álgebra
de conjuntos
Existen
unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos,
similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión. La unión de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada
elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Intersección. La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A
y B.
Diferencia. La diferencia entre dos
conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que
no pertenecen a B.
Complemento. El complemento de un
conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los
elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen
a A.
Diferencia simétrica. La diferencia simétrica
de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano. El producto cartesiano
de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares
ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento b
pertenece a B.
Un conjunto es una colección de
elementos con alguna característica común a la que definimos por la misma y
tratamos como un elemento.
Veamos algunos ejemplos:
·
Primero con elementos reales:
Circunferencia (conjunto) que reúne en el espacio
que delimita diferentes animales (ejemplos de elementos del conjunto).
Todos estos elementos tienen
características diferentes, pero una en común, todos ellos son animales.
Así, a este conjunto le podemos llamar Conjunto ANIMALES.
·
Ahora con números:
Circunferencia (conjunto) que reúne en el espacio
que delimita diferentes múltiplos de 5 (ejemplos de elementos del conjunto).
Todos estos números tienen
diferentes características, pero una en común, todos ellos son múltiplos
de 5. Así, a este conjunto le podemos llamar Conjunto MÚLTIPLOS DE
5.
Relación entre varios conjuntos:
Independientes
Son conjuntos formados por
elementos que no tienen ninguna característica común
Primero con elementos reales:
Dos circunferencias externas (conjuntos independientes) que delimitan
espacios en los que aparecen animales en uno, y medios de transporte en otro
(ejemplos de elementos de los conjuntos).
Los elementos del primer conjunto son animales y los del segundo, medios
de transporte. No tienen características comunes.
·
Ahora con números:
Dos circunferencias externas (conjuntos
independientes) que delimitan espacios en los que aparecen múltiplos de 5 en
uno, y múltiplos de 3 en otro (ejemplos de elementos de los conjuntos).
Los números del primer conjunto
son múltiplos de 5 y, los del segundo conjunto múltiplos de 3.
Inclusión, subconjuntos
Cuando en un conjunto nos
fijamos en las características que tienen en común algunos de sus elementos
estamos hablando de subconjuntos, es decir, de un conjunto que pertenece a otro
conjunto.
Vamos a ver algunos ejemplos:
·
Primero con elementos reales:
Conjunto de animales en el que se aísla en su
interior, mediante una elipse, a aquellos que pueden volar.
Dentro del conjunto de los animales
nos hemos fijado en aquellos que, además, pueden volar. A este subconjunto le
podemos llamar Subconjunto ANIMALES QUE VUELAN.
·
Ahora con números:
Conjunto de múltiplos de 5 en el que se aísla en su
interior, mediante una elipse, a aquellos que son múltiplos de 10.
Dentro del conjunto de los
múltiplos de 5 nos hemos fijado en los que, además, son múltiplos de 10. Y
vemos que todos los múltiplos de 10 son múltiplos de 5, es decir, el Conjunto
MÚLTIPLOS DE 10 está incluido en el Conjunto MÚLTIPLOS DE 5.
Intersección
La intersección es el punto
donde dos conjuntos coinciden, es decir, es el punto donde encontramos
elementos que tienen una característica común con elementos de otro o más
conjuntos.
·
Primero con elementos reales:
Dos circunferencias tangentes que representan un
conjuntos de elementos que pueden volar y otro de animales. En la sección del
espacio común al que delimitan ambas circunferencias encontramos los animales
que pueden volar.
Dentro del Conjunto VA POR EL
AGUA hay algunos elementos que tienen características en común con algunos
elementos del Conjunto ANIMALES.
·
Ahora con números:
Dos circunferencias tangentes que representan un
conjunto de los múltiplos de 5 y otro de los múltiplos de 3. En la sección del
espacio común al que delimitan ambas circunferencias encontramos los números
que son múltiplos de ambos.
Al observar los conjuntos
MÚLTIPLOS DE 5 y MÚLTIPLOS DE 3 vemos que tienen elementos que son múltiplos de
5 y, a su vez, múltiplos de 3. Estos elementos conforman la intersección de los
dos conjuntos.
Unión
La unión es aquel conjunto de
una amplitud mayor que reúne a uno o más conjuntos. Para ello decimos que sus
elementos reúnen las características de uno u otro conjunto.
Vamos a ver algunos ejemplos:
·
Primero con elementos reales.
Los conjuntos de animales y medios de transporte se
encuentran delimitadas por una figura común que representa la unión de los dos
conjuntos.
La unión de los conjuntos
ANIMALES y MEDIOS DE TRANSPORTE reúne aquellos elementos que son animales o
medios de transporte.
·
Ahora con números:
Los conjuntos de los múltiplos de 5 y los de 3 se
encuentran delimitadas por una figura común que representa la unión de los dos
conjuntos.
La unión de los conjuntos
MÚLTIPLOS DE 5 y MÚLTIPLOS DE 3 reúne aquellos elementos que son múltiplos de
5 o de 3. No como la intersección, que reúne solo aquellos que
son múltiplos de 5 y de 3.
Bibliografía
Devlin, K. The Joy of
Sets. Springer-Verlag. New York. 1993.
Enderton, H. Elements of
Set Theory. Academic Press. New York. 1977
Halmos, P. Naive Set
Theory. Springer-Verlag. New York. 1974.
Suppes, P. Axiomatic Set
Theory. Dover. New York. 1972.
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