Análisis Dimensional

Conclusión Téoria de Conjuntos

Conclusión de Teoría de Conjuntos:

La historia de conjuntos comienza en el momento en que el hombre sintió la necesidad de contar y agrupar elementos. 

Las operaciones de conjuntos cumplen una determinada serie de leyes que indican como se debe operar cada uno de ellos, los cuales ayudan a comprender, entender y encontrar una solución cuantitativa de un grupo de elementos en común.

Teoría Gráficos Estadísticos

Gráficos Estadísticos: 
Educativo, P. (2016). Gráficos estadísticos. Recuperado de http://www.portaleducativo.net 

Existe una gran cantidad de gráficos para la representación de datos estadísticos, entre los principales tenemos:

a) Gráfico de Barras El gráfico de barras, como su nombre lo indica, está constituido por barras rectangulares de igual ancho, conservando la misma distancia de separación entre sí. Se utiliza básicamente para mostrar y comparar frecuencias de variables cuantitativas o comportamientos  en el tiempo, cuando el número de ítems es reducido.

Para elaborarlo debemos:

- Utilizar un sistema de coordenadas rectangulares y se llevan al eje de las "x" los valores que toma la variable en estudio y en el eje de las "y" se colocan las frecuencias de cada barra.

- Luego se construyen los rectángulos, tomando como base al eje de las abscisas, cuya altura será igual a cada una de las diferentes frecuencias que presentan las variables en estudio.

- La magnitud con que viene expresada la variable se observa en la longitud de las barras (rectángulos). Es importante destacar que solamente la longitud de las barras y no su anchura es lo que denota la diferencia de magnitud entre los valores de la variable. 

Todas las barras tienen que tener una anchura igual, separadas entre sí, preferiblemente por una longitud igual a la mitad del ancho de estas o distancias iguales entre barras.

Las barras se pueden graficar tanto verticalmente como horizontalmente. Se pueden elaborar barras compuestas y barras agrupadas.

Este tipo de gráfico se clasifican por:

- Barras simples: Compara valores entre categorías de una variable

- Barras dobles: Compara valores entre categorías de dos variables

- Barras múltiples: Compara valores entre categorías de dos o más variables

- Barras verticales: Las categorías de la variable deben ubicarse en el eje x.

- Barras horizontales: Las categorías de la variable deben ubicarse en el eje y.

- Barras Aplicadas: Compara entre categorías el aporte de cada valor en el total.

b) Gráfico de sectores Circulares: Usualmente llamado gráfico de torta, debido a su forma característica de una circunferencia dividida en sectores, por medio de radios que dan la sensación de un pastel cortado en porciones.

Se usa para representar variables cualitativas en porcentajes o cifras absolutas cuando el número de ítems no es superior a 5 y se quiere resaltar uno de ellos. 

c) Gráfico de líneas o Tendencia: Usado básicamente para mostrar el comportamiento de una variable cuantitativa a través del tiempo. El gráfico de líneas consiste en segmentos rectilíneos unidos entre sí, los cuales resaltan las variaciones de la variable por unidad de tiempo.

Cuando se tienen varias variables a representar, con el fin de establecer comparaciones entre ellas (siempre que su unidad de medida sea la misma); se utiliza plasmarlos en un solo gráfico, el cual es el resultado de representar varias variables en un mismo plano. A este tipo de gráfico se le llama gráfico de líneas compuesto.

Criterios para elaborar un gráfico de líneas:

1- La utilización de la escala que se utilizará en el plano cartesiano puede variar tomando en cuenta el fenómeno que se va a graficar. No es necesario que las abscisas (ejes x) y las ordenadas (eje y) del plano cartesiano lleven la misma escala; sin embargo, cuando las magnitudes de las variables no se diferencian sustancialmente es recomendable utilizar escalas iguales para obtener un gráfico con mayor precisión.

2- Cuando una de las variables en estudio se inicia con valores muy altos es recomendable no comenzar el eje por el origen cartesiano sino por un valor próximo o por el mismo valor por donde comienza la variable.

3- Es costumbre representar en el eje de las x del plano cartesiano la variable independiente del estudio que se realiza y en el eje de las y la variable dependiente.

En aquellos casos que se dificulta distinguir el tipo de variable se recomienda colocar en la ordenada del plano cartesiano las frecuencias de las variables en estudio y sobre la abscisa la variable cronológica (años, semanas, días, horas, etc.)

d) Histograma de frecuencias: El histograma es un diagrama en forma de columna, muy parecido a los gráficos de barras. Se define como un conjunto de rectángulos paralelos, en el que la base representa la clase de la distribución y su altura la magnitud que alcanza la frecuencia de la clase correspondiente. Son barras rectangulares levantadas sobre el eje de las abscisas del plano cartesiano utilizando escalas adecuadas para los valores que asume la variable en la distribución de frecuencia.

El ancho de la base de los rectángulos es proporcional a cada clase de la distribución, de tal manera que, cuando la distribución tiene clases de igual tamaño, el tamaño de todos los rectángulos tendrá bases iguales. 

Los lados del rectángulo se levantan sobre los puntos del eje de las x que corresponden a los límites de cada clase y la longitud de los mismos será igual a la frecuencia que tenga esa clase, los lados por lo tanto corresponden a la frecuencia de cada clase de la distribución de frecuencia.

Cuando se elaboran gráficas estadísticas en el plano cartesiano es recomendable que en el eje de las ordenadas se representen las frecuencias y el  eje de abscisas las variables independientes.

e) Polígono de frecuencias: Se utiliza básicamente para mostrar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas. Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo de un histograma.

Pasos para elaborar un polígono de frecuencias:

1- Se dibuja un plano cartesiano.

2- Se traza sobre el eje de las abscisas, a distancias iguales, los puntos medios de las diferentes clases de la distribución de frecuencias.

3- Se levantan perpendiculares por cada una de las marcas de clase, con una longitud igual a la frecuencia de cada una de las clases que integran la distribución de frecuencia. Al final de cada perpendicular se marca un punto.

4- Los puntos resultantes se unen por medio de una línea recta obteniéndose una línea poligonal.

5- Con la finalidad de cerrar la línea poligonal se agrega una clase imaginaria con frecuencia cero a cada extremo de la distribución de frecuencia, por tal motivos ambos extremos del polígono se cortan con el eje de las abscisas.

También se puede elaborar un polígono de frecuencia después de haber graficado un histograma; si se determina el punto medio de cada rectángulo de un histograma y esos puntos medios se unen por medio de segmentos de recta dan como resultado el polígono de frecuencia.

f) Histograma de frecuencias acumuladas: Se utiliza básicamente para mostrar la distribución  de frecuencias acumulada de variables cuantitativas. Es una gráfica que se elabora con los valores de las frecuencias acumuladas (menor que y mayor que) y los límites de las clases de una distribución de frecuencia. El polígono de frecuencia acumulada se le conoce comúnmente como ojiva.

La ojiva es una representación gráfica que consiste en una línea, que puede ser ascendente o descendente y se utiliza para representar las distribuciones de frecuencias acumuladas menor que y mayor que, según los datos utilizados. En los estudios de análisis estadísticos la ojiva es de gran utilidad porque permite obtener con gran aproximación cierta información requerida, en un momento determinado.

ejemplos de analisis de gráficos

Lectura e Interpretación de Gráficas

Lectura e interpretación de gráficas

Al igual que muchos procesos matemáticos utilizados en la escuela, la graficación comprende la interpretación y la construcción. La interpretación se refiere a las habilidades de los estudiantes para leer una gráfica tanto local como globalmente, y darle sentido o significado (Leinhardt et al., 1990). En contraste, la construcción atañe al acto de generar algo nuevo, construyendo una gráfica o trazando puntos a partir de datos con una regla funcional o a partir de una tabla. Leindhart et al. plantean que la construcción de una gráfica es completamente diferente de la interpretación. Mientras que la interpretación ayuda y exige respuestas a partir de datos dados (por ejemplo, una gráfica, una ecuación, o un conjunto de datos), la construcción requiere generar partes nuevas que no están dadas.

La interpretación de gráficas precisa de procesos agudos de visualización, aunque Eysemberg & Dreyfus (1991) mostraron que muchos estudiantes poco utilizan el pensamiento visual. Prefieren el trabajo algorítmico al pensamiento visual, ya que éste requiere de procesos cognitivos superiores a los que demanda el pensamiento algorítmico.

Ahora bien, las interpretaciones de las gráficas pueden estudiarse desde diferentes puntos de vista. Hay quienes investigan las dificultades en la lectura de gráficas (Brassel & Rowe, 1993; Moschkovich et al., 1993; Yerushalmi & Shternberg, 2001); en el caso de Wainer (1992), identificó tres niveles de procesamiento de la información relacionados con la interpretación gráfica:

a. El nivel elemental: Implica la extracción de datos o la lectura de puntos aislados; por ejemplo, quién alcanzó la más alta calificación del grupo, quién alcanzó la calificación más baja, etc.

b. El nivel intermedio: Concierne a la detección de las tendencias observadas en intervalos determinados de las gráficas; por ejemplo, entre los años 1990 y 1993 qué compañía tuvo la razón más grande de crecimiento.

c. El nivel más alto: Es una comprensión profunda sobre la estructura de los datos y de su comportamiento; por ejemplo, las muchachas crecen más rápido que los muchachos.

En otras investigaciones sobre el pensamiento de los estudiantes de cálculo, cuando plantearon actividades de interpretación en torno a lo cambiante de la razón de cambio se percibió que esta habilidad es lenta de desarrollar; particularmente, se reportan problemas al interpretar la información gráfica de una función (Carlson et al., 2002). Muchas de estas dificultades están asociadas al escaso desarrollo de un razonamiento covariacional, que se define como aquel que involucra a las actividades cognitivas de coordinación de dos cantidades variables, atendiendo las formas en que cambian una en relación con la otra. Como puede notarse, este trabajo se orienta más hacia el estudio del pensamiento covariacional y tiene similitud con la visión matemática de la graficación.

Según Cantoral & Montiel (2001), hay dos formas clásicas de entender la enseñanza de la graficación: una asume que la graficación es una técnica o conjunto de técnicas que permiten bosquejar la gráfica de una función; otra, menos difundida, entiende la graficación como una forma de interpretar el sentido y significado de sus propiedades desde una perspectiva cognoscitiva. En tal enfoque se inserta nuestro trabajo.

Para explorar las interpretaciones que le dan sentido y significado a las gráficas, adoptamos las acciones sugeridas en el análisis de funciones planteadas en Dolores (1999), así como algunas desprendidas de Carlson et al. (2002). Dichas acciones son congruentes con las definiciones y objetivos de las gráficas de funciones que manejan los textos y programas de estudio de matemáticas y de estadística. Una gráfica cartesiana se define en los textos como una representación entre dos o tres variables, y se considera como herramienta visual útil porque posibilita la detección de tendencias, facilita las comparaciones y se constituye en un medio idóneo para analizar el comportamiento de fenómenos de variación. Las acciones sistemáticamente planteadas pueden resumirse en cinco: 1) ¿qué cambia?; 2) ¿cuánto cambia?; 3) ¿cómo cambia?; 4), ¿qué tan rápido cambia?; 5) ¿cómo se comporta globalmente la gráfica?

La primera acción concierne a identificar qué variables están representadas, ubicar puntos en el plano y determinar los intervalos de variación. Para poder determinar cuánto cambia eso que cambia hay que hacer comparaciones y operaciones de resta entre estados finales e iniciales, tanto para la variable dependiente como para la independiente, atendiendo a la correlación entre esos cambios. Para saber cómo cambian las variables representadas, es preciso determinar si la gráfica crece, decrece o se mantiene constante; en suma, la dirección del cambio. Para determinar la rapidez del cambio se requiere emplear la razón promedio de cambio, que involucra necesariamente cambios de la variable dependiente en relación con los de la variable independiente. El comportamiento global y preciso de la gráfica implica el uso de la razón de cambio instantánea (derivada) para precisar en qué intervalos crece o decrece, en qué puntos tiene máximos, mínimos o puntos de inflexión. Resulta claro que esta última no es tema de tratamiento en primaria y secundaria, pues se reserva para el bachillerato y la universidad.

BIBLIOGRAFÍA

Cantoral, R. & Montiel, G. (2001). Funciones: visualización y pensamiento matemático. México: Prentice Hall.

Cantoral, R. & Farfán, R. M. (2003). Matemática educativa: una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 1(1), 27–40.

ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS DE TEORÍA DE CONJUNTOS

Ejemplo 4
En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán 8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3. 
a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? 
b) ¿Cuántos alumnos tenían como francés el único idioma de estudio?

Ejemplo 3
En una ciudad de 10,000 habitantes adultos el 70% de los adultos escuchan radio, el 40% leen los periódicos y el 10% ven televisión, entre los que escuchan radio el 30% lee los periódicos y el 4% ven televisión, el 90% de los que ven televisión, lee los periódicos, y solo el 2% de la población total adultos lee los periódicos, ven televisión y escuchan radio 
se pide: 
a) Cuantos habitantes no escuchan radio, no lee periódicos ni ven televisión. 
b) Cuantos habitantes leen periódicos solamente.

TEORÍA DE CONJUNTOS

Teoría Básica de Conjuntos

TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS

Pinceladas históricas

En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la historia de las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de la lógica. Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic trató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica, G. Cantor se había adelantado a Frege con una fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la totalidad de los números naturales comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1 no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de conjuntos.

Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.

Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición de conjunto similar. En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. Es indiscutible el hecho de que la teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además, la teoría matemática dónde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas. Es también indiscutible que es una parte de la lógica y en particular una parte de la lógica de predicados.

En esta historia cruzada de las matemáticas, la lógica y los fundamentos de ambas, la teoría de conjuntos permitiría por un lado una fundación logicista de las matemáticas; pero por otro lado la teoría de conjuntos mirada como parte de las matemáticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustrato de las teorías lógicas. Finalmente, puede ser completamente expresada en un lenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teoría de primer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplican a cualquier teoría de primer orden.

La definición inicial de Cantor es totalmente intuitiva: un conjunto es cualquier colección C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepción o nuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un todo. Igual que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensión de un predicado (la colección de objetos que satisface el predicado).

Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser también ingenua porque produce enormes contradicciones de inmediato, como por ejemplo la paradoja de Russell. Para poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teoría intuitiva que, aparte de los símbolos para los conjuntos y sus elementos (x, C, etc.), tendrá los símbolos de pertenencia ∈ e igualdad = (de los objetos del lenguaje formal).

Que x es un elemento del conjunto C se expresa “x pertenece a C” o bien x ∈ C. Que x no es un elemento de C se expresa “x no pertenece a C” (x /∈ C). Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con mayúsculas a los conjuntos y con minúsculas a sus elementos, ya que un conjunto puede ser a su vez un elemento de otro conjunto e incluso podemos considerar que en nuestra teoría no hay objetos que no sean conjuntos.

¿Cómo se determina una colección?

Listar los objetos. De acuerdo con la definición intuitiva de Cantor un conjunto queda definido si es posible describir completamente sus elementos.

El procedimiento más sencillo de descripción es nombrar cada uno de sus elementos, se llama definición por extensión; es conocida la notación de encerrar entre llaves los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A = {a, b, c}. Donde A es el conjunto formado por la colección de objetos a, b y c.

B = {⊕, ª, ⊗, ®, ¯}. Donde B es el conjunto formado exactamente por esos cinco círculos.

Entonces es cierto que b ∈ A y que b /∈ B.

El inconveniente para este método de listado o enumeración de los elementos del conjunto es que éstos deben poseer un número finito de elementos y, en la práctica, un número muy pequeño ¿Qué hacer cuando la colección es infinita, o cuando es finita pero numerosa?

Describir los objetos. Cuando el número de elementos del conjunto es infinito (como el de los número impares) o demasiado numeroso (como el de todas las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utiliza el método de definición por intensión, que consiste en la descripción de un conjunto como la extensión de un predicado, esto es, mediante una o varias propiedades (el predicado) que caracterizan a los elementos de ese conjunto.

En principio podría tomarse cualquier lengua natural para describir los objetos (español, inglés, italiano, vasco, catalán, etc), sin embargo es preferible utilizar un lenguaje formal que ofrezca rigor y precisión. Dicho lenguaje debe ser suficientemente rico; esto es, lo suficientemente expresivo como para poder describir todas las colecciones matemáticas. Pero también lo suficientemente restrictivo como para limitarse a sólo las colecciones de objetos matemáticos. Para expresar predicados utilizaremos el lenguaje formal de la lógica de predicados de primer orden (el lenguaje de la lógica de proposiciones con los símbolos lógicos de las conectivas ¬,∨,∧,→,↔ más los cuantificadores universal ∀ y existencial ∃) al que se añade variables, igualdad y el relator binario de pertenencia.

Este lenguaje puede ser ampliado con los símbolos propios de las operaciones, relaciones o funciones del lenguaje específico de teoría de conjuntos.

En la primera parte, al presentar la Teoría básica de conjuntos, utilizaremos con frecuencia el lenguaje natural para describir propiedades. Estas propiedades pueden ser aritméticas (<, ≤, /, etc.) o matemáticas en general, pero también pueden ser propiedades expresadas en lenguaje natural (nombres, verbos,...) que describan colecciones no estrictamente matemáticas.

Ejemplo:

C = {x ∈ ω/ 0 <x< 230000 ∧ 2/x}, donde ω es el conjunto de los números naturales con la ordenación habitual, < significa “menor que” y 2/x significa que “2 divide a x”.

D = {x/ x es una palabra de 2 letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas)}

E = {x/ P2(x) ∨ P3(x) ∨ ··· ∨ P10(x)} . Donde Pi(x) significa “x es una palabra de i letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas).

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y, junto con la lógica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

Diferencia simétrica. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

  

Un conjunto es una colección de elementos con alguna característica común a la que definimos por la misma y tratamos como un elemento.

Veamos algunos ejemplos:

·         Primero con elementos reales:

 Circunferencia (conjunto) que reúne en el espacio que delimita diferentes animales (ejemplos de elementos del conjunto).

Todos estos elementos tienen características diferentes, pero una en común, todos ellos son animales. Así, a este conjunto le podemos llamar Conjunto ANIMALES.

·         Ahora con números:

Circunferencia (conjunto) que reúne en el espacio que delimita diferentes múltiplos de 5 (ejemplos de elementos del conjunto).

Todos estos números tienen diferentes características, pero una en común, todos ellos son múltiplos de 5. Así, a este conjunto le podemos llamar Conjunto MÚLTIPLOS DE 5.

Relación entre varios conjuntos:

Independientes

Son conjuntos formados por elementos que no tienen ninguna característica común

Vamos a ver algunos ejemplos:

Primero con elementos reales:

Dos circunferencias externas (conjuntos independientes) que delimitan espacios en los que aparecen animales en uno, y medios de transporte en otro (ejemplos de elementos de los conjuntos).

Los elementos del primer conjunto son animales y los del segundo, medios de transporte. No tienen características comunes.

·         Ahora con números:

 

Dos circunferencias externas (conjuntos independientes) que delimitan espacios en los que aparecen múltiplos de 5 en uno, y múltiplos de 3 en otro (ejemplos de elementos de los conjuntos).

Los números del primer conjunto son múltiplos de 5 y, los del segundo conjunto múltiplos de 3.

Inclusión, subconjuntos

Cuando en un conjunto nos fijamos en las características que tienen en común algunos de sus elementos estamos hablando de subconjuntos, es decir, de un conjunto que pertenece a otro conjunto.

Vamos a ver algunos ejemplos:

·         Primero con elementos reales: 

Conjunto de animales en el que se aísla en su interior, mediante una elipse, a aquellos que pueden volar.

Dentro del conjunto de los animales nos hemos fijado en aquellos que, además, pueden volar. A este subconjunto le podemos llamar Subconjunto ANIMALES QUE VUELAN.

·         Ahora con números: 

  

Conjunto de múltiplos de 5 en el que se aísla en su interior, mediante una elipse, a aquellos que son múltiplos de 10.

Dentro del conjunto de los múltiplos de 5 nos hemos fijado en los que, además, son múltiplos de 10. Y vemos que todos los múltiplos de 10 son múltiplos de 5, es decir, el Conjunto MÚLTIPLOS DE 10 está incluido en el Conjunto MÚLTIPLOS DE 5.

Intersección

La intersección es el punto donde dos conjuntos coinciden, es decir, es el punto donde encontramos elementos que tienen una característica común con elementos de otro o más conjuntos.

Vamos a ver algunos ejemplos:

·         Primero con elementos reales: 

Dos circunferencias tangentes que representan un conjuntos de elementos que pueden volar y otro de animales. En la sección del espacio común al que delimitan ambas circunferencias encontramos los animales que pueden volar.

Dentro del Conjunto VA POR EL AGUA hay algunos elementos que tienen características en común con algunos elementos del Conjunto ANIMALES.

·         Ahora con números: 

  

Dos circunferencias tangentes que representan un conjunto de los múltiplos de 5 y otro de los múltiplos de 3. En la sección del espacio común al que delimitan ambas circunferencias encontramos los números que son múltiplos de ambos.

Al observar los conjuntos MÚLTIPLOS DE 5 y MÚLTIPLOS DE 3 vemos que tienen elementos que son múltiplos de 5 y, a su vez, múltiplos de 3. Estos elementos conforman la intersección de los dos conjuntos.

Unión

La unión es aquel conjunto de una amplitud mayor que reúne a uno o más conjuntos. Para ello decimos que sus elementos reúnen las características de uno u otro conjunto.

Vamos a ver algunos ejemplos:

·         Primero con elementos reales.

 

Los conjuntos de animales y medios de transporte se encuentran delimitadas por una figura común que representa la unión de los dos conjuntos.

La unión de los conjuntos ANIMALES y MEDIOS DE TRANSPORTE reúne aquellos elementos que son animales o medios de transporte.

·         Ahora con números: 

Los conjuntos de los múltiplos de 5 y los de 3 se encuentran delimitadas por una figura común que representa la unión de los dos conjuntos.

La unión de los conjuntos MÚLTIPLOS DE 5 y MÚLTIPLOS DE 3 reúne aquellos elementos que son múltiplos de 5 o de 3. No como la intersección, que reúne solo aquellos que son múltiplos de 5 y de 3.

Bibliografía

Devlin, K. The Joy of Sets. Springer-Verlag. New York. 1993.

Enderton, H. Elements of Set Theory. Academic Press. New York. 1977

Halmos, P. Naive Set Theory. Springer-Verlag. New York. 1974.

Suppes, P. Axiomatic Set Theory. Dover. New York. 1972.