Método Polya

José A. Alonso http://www.glc.us.es/~jalonso/vestigium/wp-content/themes/atahualpa/images/icons/date.gif 7 Mayo 2012.

George Pólya presentó en su libro Cómo plantear y resolver problemas (en inglés, How to solve it) un método de 4 pasos para resolver problemas matemáticos. Dicho método fue adaptado para resolver problemas de programación, por Simon Thompson en How to program it.

En las siguientes secciones mostramos los 4 pasos de ambos métodos, junto con sus correspondientes preguntas.

Método de Pólya para resolver problemas matemáticos.

Para resolver un problema se necesita:

Paso 1: Entender el problema

¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?

¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?

Paso 2: Configurar un plan

¿Te has encontrado con un problema semejante? ¿O has visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?

¿Conoces algún problema relacionado con éste? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser útil? Mira atentamente la incógnita y trata de recordar un problema que sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar.

He aquí un problema relacionado al tuyo y que ya has resuelto ya. ¿Puedes utilizarlo? ¿Puedes utilizar su resultado? ¿Puedes emplear su método? ¿Te hace falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utilizarlo?

¿Puedes enunciar al problema de otra forma? ¿Puedes plantearlo en forma diferente nuevamente? Recurre a las definiciones.

Si no puedes resolver el problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. ¿Puedes imaginarte un problema análogo un tanto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un problema más particular? ¿Un problema análogo? ¿Puede resolver una parte del problema? Considera sólo una parte de la condición; descarta la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puedes deducir algún elemento útil de los datos? ¿Puedes pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita? ¿Puedes cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que estén más cercanos entre sí?

¿Has empleado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición? ¿Has considerado todas las nociones esenciales concernientes al problema?

Paso 3: Ejecutar el plan

Al ejecutar tu plan de la solución, comprueba cada uno de los pasos

¿Puedes ver claramente que el paso es correcto? ¿Puedes demostrarlo?

Paso 4: Examinar la solución obtenida

¿Puedes verificar el resultado? ¿Puedes el razonamiento?

¿Puedes obtener el resultado en forma diferente? ¿Puedes verlo de golpe? ¿Puedes emplear el resultado o el método en algún otro problema?

 Método Pólya

Origen

Miller (2006) comenta que el 13 de diciembre de 1887 en Hungría nació un científico matemático llamado George Pólya. Estudió en la Universidad de Budapest; donde abordó temas de probabilidad. Luego en 1940 llegó a la Universidad de Brown en E.U.A. y pasó a la Universidad de Stanford en 1942 como maestro. Elaboró tres libros y más de 256 documentos, donde indicaba que para entender algo se tiene que comprender el problema.

George Pólya investigó muchos enfoques, propuestas y teorías; su teoría más importante fue la Combinatoria. El interés en el proceso del descubrimiento y los resultados matemáticos llegaron en él, despertar el interés en su obra más importe la resolución de problemas. Se enfatizaba en el proceso de descubrimiento más que desarrollar ejercicios sistematizados.

Pólya después de tanto estudio matemático murió en 1985 a la edad de 97 años; enriqueció la matemática con un importante legado en la enseñanza en el área para resolver problemas, dejando diez mandamientos para los profesores de matemática.

Interés en la materia.

Conocimiento de la materia.

Observar las expectativas y dificultades de los estudiantes.

Descubrir e investigar.

Promover actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.

Permitir aprender a conjeturar.

Permitir aprender a comprobar.

Advertir que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros.

No mostrar todo el secreto a la primera: dejar que los estudiantes hagan las conjeturas antes.

Sugerir; no obligar que lo traguen a la fuerza.

“La matemática es en muchos sentidos la más elaborada y compleja de las ciencias. Es el Gran Diccionario Enciclopédico, una escala para lo místico así como el pensamiento racional en el ascenso intelectual del hombre. Una de las mejores herramientas para las demás disciplinas científicas” (Mejías 2006, p.17)

Ejemplos

1. Álgebra: Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Problema: Marcos va a comprarle unos videojuegos a su hermano. Hay videojuegos para distintas edades por lo que el vendedor necesita saber la edad de su hermano. Pero Marcos le contesta de la siguiente manera:

2. Mi edad es el triple de la de mi hermano y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la tendrá mi hermano dentro de 16 años. Puedes ayudar al vendedor a encontrar cuál es la edad actual del hermano de Marcos?

3. Paso 1: Comprender el problema ¿Qué quiere decir el triple de la edad? Resp: Quiere decir la edad multiplicada por tres. ¿Distingues cuáles son los datos?  La edad de Marcos es el triple de la de su hermano.  Hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la que tendrá su hermano dentro de 16 años.

4. ¿Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la edad actual del hermano de Marcos. Paso 2: Configurar un plan ¿Se puede usar alguna estrategia para resolver el problema? Usar una variable: Sea x= la edad actual del hermano 3x=la edad de Marcos

5. Por otro lado:  Hace 4 años la edad de Marcos era 3x-4 y la de su hermano era x-4.  La edad que tendrá el hermano dentro de 16 años es x+16.  La suma de ambas edades [(3x-4) y (x-4)] era igual a (x-16).

6. Paso 3: Ejecutar el plan Implementa la estrategia que escogiste hasta solucionar completamente el problema. (3x+4)+(x-4)= x+16 4x-8=x+16 4x-8-x=x+16-x 3x-8=16 3x-8+8=16+8 3x=24

7. Paso 4: Mirar hacia atrás ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema? La cantidad obtenida parece razonable ya que: La suma de ambas edades hace 4 años era: 20+4=24 y 24 años es exactamente la edad que tendrá el hermano de Marcos dentro de 16 años.

Bibliografía

José A. Alonso http://www.glc.us.es/~jalonso/vestigium/wp-content/themes/atahualpa/images/icons/date.gif 7 Mayo 2012

George Pólya  libro Cómo plantear y resolver problemas.