¿Qué es Lógica Proposicional?

¿QUÉ ES LÓGICA PROPOSICIONAL?

LÓGICA

Es una ciencia que estudia el lenguaje científico, su planteamiento, su organización, en entidades jerárquicas y los métodos como sus fórmulas para analizar toda forma escrita. Para comunicarse el ser humano utiliza lenguajes discursivos dichos lenguajes están llenos de partículas lógicas.

Las partículas lógicas: fundamentalmente son los cuantificadores las conectivas con ellas se forman los discursos.

LÓGICA PROPOSICIONAL

Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos su nivel absoluto de verdad. Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbolice, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que lo acercan al lenguaje matemático.

Proposiciones

Tautología: se define tautología o validez a aquella formula que siempre es verdadera.

Contradicción: es una proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad. Para cualquier valor de verdad de las proposiciones, sea cual sea el resultado de la formula lógica estudiada siempre va a ser falso.

Conjunción: es aquella formula que es falsa o verdadera. Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se definen constante lógicas.

Conectores

Negación: no -> >, ~

En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa.

Conjunción: Y ∧, Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.

Disyunción: O ∨,

La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

Condicional: ⇒ entonces

Típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa.

Bicondicional: ⇔ si solo sí.

El Bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

Proposiciones

Variables: En el lenguaje simbólico de la lógica de proposiciones, a los enunciados simples, atómicos o elementales son los que no pueden descomponerse en otros más simples. Se les llama variables, y se escriben con las letras minúsculas del final del abecedario: “p”, “q”, “r”, “s”… para los casos particulares, o con las letras en mayúscula del principio del alfabeto cuando son casos generales: “A”, “B”, “C”, “D”…

Además de las variables, la lógica proposicional tiene otros elementos en su alfabeto: las constantes lógicas y los símbolos auxiliares que forman los enunciados compuestos.

Algunas de las marcas léxicas del lenguaje natural, se traducen con uno de las cinco constantes lógicas siguientes:

¬ NEGACIÓN: No

٧ DISYUNCIÓN INCLUSIVA: o, o bien, tanto si… como si,

٨ CONJUNCIÓN: y, e, o ni (=y no)

→ CONDICIONAL: si…. entonces

↔ BICONDICIONAL: si y solo si

TABLA DE LA VERDAD

Las tablas de verdad es una estrategia de la lógica simple que permite establecer la validez de varias propuestas en cuanto a cualquier situación, es decir, determina las condiciones necesarias para que sea verdadero un enunciado propuesto, permitiendo clasificarlos en tautológicos (resultan verdaderos durante cualquier situación) contradictorias (son enunciados falsos en la mayoría de los casos) o contingentes (enunciados que no pueden será tantos verdaderos como falsos no existen tendencia a un solo sentido).

Permite diferentes aspectos del enunciado como las condiciones que lo hacen verdadero y cuáles son sus conclusiones lógicas, es decir, si el enunciado propuesto es verdadero o falso. Esta tabla fue ideada por Charles Sander Peirce aproximadamente en 1880, pero la más utilizada es el modelo actualizado de Luidwin Wittgenstein en 1921.

La construcción de la tabla está fundamentada en la utilización de un letra para las variables del resultado y las mismas se cumplen se dicen que son verdaderas, en el caso contrario de que no se cumpla se les asigna el apelativo de falsas, por ejemplo: Enunciado: “Si nos mudamos, mi perro se muere”. Variables: A: Si se muda- B: el perro se muere.

Si se dice que es verdadero a ambas variables se les asigna la letra (V) y representa la positividad del enunciado, si algunas de las variables no se cumple se les asigna la letra (F) esto no representa la falsedad del enunciado ya que con cumplirse una sola variable se puede designar como verdadero, eso dependerá del enunciado. Cuando ambos valores resultan verdaderos en todas las ocasiones se dice que existe una conjugación en el enunciado, en cambio sí se obtiene dos resultados verdaderos y luego uno verdadero y el otro falso se dice que existe una disyunción.

La negación: Cuando la variable es verdadera al negarla se convierte en falsa, y si es falsa, al negarla se hace verdadera.

A	~A
V	F
F	V

La disyunción: Solo es falsa cuando todas las variables son falsas.

A	B	A V B
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

La conjunción: Únicamente es verdadera cuando todas las variables son verdaderas también.

A	B	A ∧ B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

El condicional: Solo cuando la primera variable o antecedente, es verdadera y la segunda o consecuente, falsa, el resultado es falso.

A	B	A ⇒ B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

El Bicondicional: Es verdad cuando las dos variables tienen el mismo valor.

A	B	A ⇔ B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

CONCLUSIONES

La idea principal es que aprendamos el concepto de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.

Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son producto de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.

Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconscientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un maestro.

Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.

Uno de los objetivos principales del constructivismo, es la construcción del conocimiento. El tema de "lógica matemática", se presta para que el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuentas lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.

BIBLIOGRAFÍAS

Introducción a la Lógica Intencional

 Lógica Temporal Proposicional

Dr. Axel Arturo Barceló Aspeitia

Lógica Matemática

Iris Celeste Rodas de López

Primera Edición

EDITEXA